Question

19．已知点A，C在直线BD的同侧，且AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，AB=6，CD=4，BD=14，现有点P在直线BD上，并且满足△ABP与△CDP相似，则这样的点P的个数为（　　）

• A． 3
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 设DP=x，根据已知可以分三种情况：①当点P在线段BD上时；②当点P在线段BD的右侧时；③当点P在线段BD的左侧时；分别得出比例式得出方程，解方程求出x的值，即可得出结果．

解答 解：∵AB⊥DB，CD⊥DB，
∴∠D=∠B=90°，
设DP=x，分三种情况：
①当点P在线段BD上时，
当PD：AB=CD：PB时，△PDC∽△ABP，
∴$\frac{x}{6}=\frac{x}{14-x}$，解得：DP=2或12，
当PD：PB=CD：AB时，△PCD∽△PAB，
∴$\frac{x}{14-x}=\frac{4}{6}$，
解得：DP=5.6；
②当点P在线段BD的右侧，如图1所示：
当$\frac{PD}{PB}=\frac{CD}{AB}$时，△PCD∽△PAB，
即$\frac{x}{x+14}=\frac{4}{6}$，
解得：x=28；
当$\frac{PD}{AB}=\frac{CD}{PB}$时，△PCD∽△APB，
即$\frac{x}{6}=\frac{4}{x+14}$，
解得：x=-7±$\sqrt{73}$（负值舍去），
∴PD=-7+$\sqrt{73}$；
③当点P在线段BD的左侧时，如图2所示：
当$\frac{PB}{CD}=\frac{AB}{PD}$时，△PCD∽△APB，
即$\frac{x}{14-x}=\frac{6}{x}$，
解得：x=7±$\sqrt{73}$（负值舍去），
∴PD=7+$\sqrt{73}$；
综上所述：当DP=5.6或2或12或28或-7+$\sqrt{73}$或7+$\sqrt{73}$时，△ABP与△CDP相似，即这样的点P的个数有6个；
故选：C．

点评 此题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，分三种情况讨论得出比例式是解决问题的关键．