Question

12．已知：如图，在△ABC中，AH是高，AB=4，BH=2，HC=6．求证：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 在Rt△ABH中，先由勾股定理求出AH的长，然后在Rt△ACH中，由勾股定理再求出AC的长，然后在△ABC中，利用勾股定理的逆定理证明即可．

解答 证明：∵在△ABC中，AH是高，
∴△ABH和△ACH都是直角三角形，
在Rt△ABH中，∵AB=4，BH=2，
∴由勾股定理得AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ACH中，∵HC=6，
∴由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{H}^{2}+H{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
在△ABC中，∵AB=4，AC=4$\sqrt{3}$，BC=BH+HC=8，
∵AB²+AC²=64=8²=BC²，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理正确求出AC的长是解题的关键．