Question

20．已知：关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0．
（1）当k=1，求这个方程的解．
（2）△ABC中，BC=5，AB、AC（AB≤AC）的长是这个方程的两个实数根．求k为何值时，△ABC是直角三角形？

Answer 1

分析 （1）将k=1代入原一元二次方程中，再利用分解因式法求出方程的解即可；
（2）利用分解因式法求出AB、AC的长度，分BC为斜边和AC为斜边两种情况考虑，根据勾股定理即可得出关于k的一元二次方程（或一元一次方程），解之即可得出结论．

解答 解：（1）将k=1代入原方程得：x²-5x+6=（x-2）（x-3）=0，
解得：x₁=2，x₂=3．
答：当k=1时，方程的解为2和3．
（2）x²-（2k+3）x+k²+3k+2=（x-k-1）（x-k-2）=0，
解得：x₁=k+1，x₂=k+2，
∴AB=k+1，AC=k+2．
当BC为斜边时，有BC²=AB²+AC²，即25=（k+1）²+（k+2）²，
解得：k=2或k=-5（不合题意，舍去）；
当AC为斜边时，有AC²=BC²+AB²，即（k+2）²=25+（k+1）²，
解得：k=11．
综上所述：当k为2或11时，△ABC是直角三角形．

点评 本题考查了因式分解法解一元二次方程以及勾股定理，解题的关键是：（1）将k=1代入原方程求解；（2）分BC为斜边和AC为斜边两种情况找出关于k的方程．