Question

6．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，PD⊥AB交∠ACB的平分线与点P，PM⊥AC于点M，PN⊥BC交CB的延长线于点N．
求证：CM=CN=$\frac{1}{2}$（AC+BC）

Answer 1

分析 连接AP，BP，易证PM=PN和AP=BP，即可证明RT△APM≌RT△BPN和RT△CPM≌RT△CPN，可得AM=BN和CM=CN，即可解题．

解答 证明：连接AP，BP，
∵CP是∠ACB平分线，
∴PM=PN，
∵PD⊥AB，D是AB中点，
∴AP=BP，
在RT△APM和RT△BPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BP}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴RT△APM≌RT△BPN（HL），
∴AM=BN，
在RT△CPM和RT△CPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CP=CP}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴RT△CPM≌RT△CPN（HL），
∴CM=CN，
∵CN=BC+BN，CM=AC-AM
∴CM=CN=$\frac{1}{2}$（BC+BN+AC-AM）=$\frac{1}{2}$（BC+AC）．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证RT△APM≌RT△BPN和RT△CPM≌RT△CPN是解题的关键．