Question

我们知道（a+b）（a-b）=a²-b²，那么：
（

3

+

2

）（

3

-

2

）=（

3

）²-（

2

）²=1，∴

3

-

2

=

1

3 + 2

；
（

4

+

3

）（

4

-

3

）=（

4

）²-（

3

）²=1，∴

4

-

3

=

1

4 + 3

；
∵

4

+

3

＞

3

+

2

，∴

1

4 + 3

＜

1

3 + 2

，即

4

-

3

＜

3

-

2

．
请你根据上述的解题方法，解决下列问题：
（1）比较大小：①

3

-

2

与

2

-1；
②

5

-

4

与

4

-

3

；
（2）由（1）中比较的结果猜想：

n+1

-

n

与

n

-

n-1

的大小关系；
（3）对（2）中的猜想给出证明．

Answer 1

考点：实数大小比较,分母有理化

专题：阅读型

分析：（1）①根据题中所给出的例子得出

3

-

2

与

2

-1的值，再比较出其大小即可；
②根据题中所给出的例子得出

5

-

4

与

4

-

3

的值，再比较出其大小即可．
（2）根据（1）中结果可直接得出结论；
（3）根据题意对（2）中的猜想进行证明即可．

解答：解：（1）①由题意可知，

3

-

2

=

1

3 + 2

，

2

-1=

1

2 +1

，
∵

3

+

2

＞

2

+1，
∴

1

3 + 2

＜

1

2 +1

，即

3

-

2

＜

2

-1；
②由题意可知，

5

-

4

=

1

5 + 4

，

4

-

3

=

1

4 + 3

，
∵

5

+

4

＞

4

+

3

，
∴

1

5 + 4

＜

1

4 + 3

，即

5

-

4

＜

4

-

3

；

（2）由（1）可知，

n+1

-

n

＜

n

-

n-1

；

（3）证明：

n+1

-

n

=

1

n+1 + n

，

n

-

n-1

=

1

n + n-1

，
∵

n+1

+

n

＜＜

n

+

n-1

，
∴

1

n+1 + n

＜

1

n + n-1

，即

n+1

-

n

＜

n

-

n-1

．

点评：本题考查的是实数的大小比较，根据题意找出规律是解答此题的关键．