Question

6．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求△FCG的面积；
（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；（提示：过点F作FM⊥CD于M）

Answer 1

分析 （1）先证明△FGM≌△HEA得出FM=AH=2，再求出GC，即可求出△FCG的面积；
（2）先求出GC，即可得出结果．

解答 解：（1）过点F作FM⊥CD于M，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=CD=6，DC∥AB，
∴∠CGE=∠AEG，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HE=GF，GF∥HE，
∴∠FGE=∠HEG，
∴∠CGF=∠AEH，
在△FGM和△HEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠A=90°}&{\;}\\{∠CGF=∠AEH}&{\;}\\{GF=HE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FGM≌△HEA（AAS），
∴FM=AH=2，
∵DG=2，DC=6，
∴GC=4，
∴△FCG的面积=$\frac{1}{2}$GC•FM=$\frac{1}{2}$×4×2=4．
（2）∵DG=x，DC=6，
∴GC=6-x，
∴△FCG的面积=$\frac{1}{2}$GC•FM=$\frac{1}{2}$×（6-x）×2=6-x．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质以及三角形面积的计算；证明三角形全等是解决问题的关键．