Question

1．如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点，连接QP并延长交CB的延长线于点D．
（1）判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由：
（2）若AP=4，tanA=$\frac{1}{2}$，
①求⊙O的半径的长；
②求PD的长．

Answer 1

分析 （1）先根据圆周角定理得∠CPB=90°，再根据斜边上的中线性质得PQ=CQ=AQ，根据等腰三角形的性质得到∠3=∠4，∠1=∠2，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°，根据切线的判定定理得到PQ为⊙O的切线；
（2）①在Rt△APC中，利用正切的定义计算出PC=$\frac{1}{2}$PA=2，利用勾股定理计算出AC=2$\sqrt{5}$，接着在Rt△ABC中，利用正切的定义可计算出BC=$\sqrt{5}$，于是可得⊙O的半径的长为$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
②先计算出AB=5，则BP=AB-AP=1，再证明OQ为△ABC的中位线，得到OQ∥AB，OQ=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，而PQ=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{5}$，然后证明△DBP∽△DOQ，再利用相似比可计算出PD=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

解答 解：（1）PQ与⊙O相切．理由如下：
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CPB=90°，
在Rt△APC中，∵Q是AC的中点，
∴PQ=CQ=AQ，
∴∠3=∠4，
∵OC=OP，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°，
∴OP⊥PQ，
∴PQ为⊙O的切线；
（2）①在Rt△APC中，∵tanA=$\frac{PC}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
∴PC=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴AC=$\sqrt{A{P}^{2}+C{P}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，∵tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，
∴⊙O的半径的长为$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
②在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴BP=AB-AP=1，
∵点O为BC的中点，
∴OQ为△ABC的中位线，
∴OQ∥AB，OQ=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∵PQ=$\frac{1}{2}$AC，
∴PQ=$\sqrt{5}$，
∵PB∥OQ，
∴△DBP∽△DOQ，
∴$\frac{DP}{DQ}$=$\frac{BP}{OQ}$，即$\frac{DP}{DP+\sqrt{5}}$=$\frac{1}{\frac{5}{2}}$，
∴PD=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．会运用勾股定理和相似比进行几何计算．