Question

【题目】已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．

（1）若点P在一边BC上，如图①，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h；

（2）当点P在△ABC内，如图②，以及点P在△ABC外，如图③，这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）点P在△ABC内时成立，点P在△ABC外时不成立，理由见解析.

【解析】

(1)连接AP,将△ABC面积分成△ABP和△APC的面积,利用面积公式代入即可证明.

(2)连接AP、BP、CP,将△ABC的面积分裂成几个小三角形的面积之和,代入面积公式计算即可.

（1）如图1，连接AP，则 S△ABC＝S△ABP+S△APC

∴BCAM＝ABPD+ACPF

即BCh＝ABh1+ACh2

又∵△ABC是等边三角形

∴BC＝AB＝AC，

∴h＝h1+h2；

（2）点P在△ABC内时，h＝h1+h2+h3，理由如下：

如图2，连接AP、BP、CP，则 S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP

∴BCAM＝ABPD+ACPF+BCPE

即BCh＝ABh1+ACh2+BCh3

又∵△ABC是等边三角形，

∴BC＝AB＝AC．

∴h＝h1+h2+h3；

点P在△ABC外时，h＝h1+h2﹣h3．

理由如下：如图3，连接PB，PC，PA

由三角形的面积公式得：S△ABC＝S△PAB+S△PAC﹣S△PBC，

即BCAM＝ABPD+ACPE﹣BCPF，

∵AB＝BC＝AC，

∴h1+h2﹣h3＝h，

即h1+h2﹣h3＝h．