Question

3．某公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价每千克不高于60元且不低于30元，经市场调查发现，日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80，当x=50时，y=100．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；
（3）求当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大利润是多少元？

Answer 1

分析 （1）根据日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80，当x=50时，y=100，可以求得y与x的函数解析式；
（2）根据公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价每千克不高于60元且不低于30元，和第一问中求得的y与x的函数解析式，可以求得该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；
（3）将第（2）问中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次项系数和对称轴和x的取值范围可以确定当销售单价为多少元时，该公司日获利最大，最大利润是多少元．

解答 解；（1）由题意可得，设y与x的函数解析式是：y=kx+b，
∵当x=60时，y=80，当x=50时，y=100，
∴$\left\{\begin{array}{l}{60k+b=80}\\{50k+b=100}\end{array}\right.$，
解得k=-2，b=200．
即y与x的函数解析式是：y=-2x+200（30≤x≤60）；
（2）由题意可得，
w=（x-30）（-2x+200）=-2x²+260x-6000，
即该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式是：w=-2x²+260x-6000；
（3）∵w=-2x²+260x-6000
∴w=-2（x-65）²+2450
∴当x＜65时，y随x的增大而增大，
∵30≤x≤60，
∴当x=60时，w取得最大值，此时w=-2（60-65）²+2450=2400（元），
即当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大利润是2400元．

点评 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意列出相应的函数解析式，可以将二次函数解析式化为顶点式，根据函数图象的性质解答问题．