Question

如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm

（1）若OB=6cm．

①求点C的坐标；

②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；

（2）点C与点O的距离的最大值. 

 

Answer 1

解答：

解：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：

在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，则BC=6，

∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，

又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，

∴BD=3，CD=3，

所以点C的坐标为（﹣3，9）； -------------------------------2分                    

②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：

AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6．

∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12

在△A'O B'中，由勾股定理得，

（6﹣x）²+（6+x）²=12²，解得：x=6（﹣1），

∴滑动的距离为6（﹣1）；----------------------------------------4分

（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：

则OE=﹣x，OD=y，

∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，

∴∠ACE=∠DCB，又∵∠AEC=∠BDC=90°，

∴△ACE∽△BCD，

∴，即，

∴y=﹣x，

OC²=x²+y²=x²+（﹣x）²=4x²，------------------------------6分

∴当|x|取最大值时，即C到y轴距离最大时，OC²有最大值，即OC取最大值，如图，即当C'B'旋转到与y轴垂直时

．此时OC=12，

故答案为：12