Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．求证：MN和PQ互相平分．

Answer 1

分析：先利用平行四边形的判定得出PM=

1

2

AB；NQ=

1

2

AB，证明四边形MPNQ是平行四边形，然后可证得MN与PQ互相平分．

解答：证明：连接MP，PN，NQ，QM，
∵AM=MD，BP=PD，
∴PM=

1

2

AB，
∴PM是△ABD的中位线，
∴PM∥AB，PM=

1

2

AB；
同理NQ=

1

2

AB，NQ∥AB，
∴PM=NQ，且PM∥NQ．
∴四边形MPNQ是平行四边形．
∴MN与PQ互相平分．

点评：此题主要考查学生对三角形中位线定理及平行四边形的判定及性质的综合运用，证明两条线段互相平分的问题一般是转化成平行四边形的判定问题．