Question

【题目】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线的对称轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点为直线上方抛物线上的动点，于点，求线段的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由题意利用待定系数法将，代入求解即可；

（2）根据题意作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小，并设直线的解析式为，将，代入，进行分析运算求解即可；

（3）根据题意过点作轴，垂足为,交于点，进而求出点的坐标并设直线的解析式为，将，代入进行运算以及设平行于的直线为进行分析运算.

解：（1）将，代入得，解得，

∴抛物线的解析式为.

（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小．

设直线的解析式为，将，

代入，得 ,

解得，

∴直线的解析式为

当时，

∴点的坐标为.

（3）如图，过点作轴，垂足为,交于点．

当时，

∴点的坐标为

设直线的解析式为，

将，代入，

得

解得，

∴直线的解析式为

设点的坐标为，则点的坐标为

设平行于的直线为，

解方程组，

得

由判别式，

得

此时，直线与直线的距离即为的最大值．

求得，.