Question

17．已知：如图在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，则点E的坐标为（　　）

• A． （5，8）
• B． （5，10）
• C． （4，8）
• D． （3，10）

Answer 1

分析 过点C作CF⊥x轴于点F，由OB•AC=160可求出菱形的面积，由A点的坐标为（10，0）可求出CF的长，由勾股定理可求出OF的长，故可得出C点坐标，对角线OB、AC相交于D点可求出D点坐标，用待定系数法可求出双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的解析式，由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标即可．

解答 解：过点C作CF⊥x轴于点F，
∵OB•AC=160，A点的坐标为（10，0），
∴OA•CF=$\frac{1}{2}$OB•AC=$\frac{1}{2}$×160=80，菱形OABC的边长为10，
∴CF=$\frac{80}{OA}$=$\frac{80}{10}$=8，
在Rt△OCF中，
∵OC=10，CF=8，
∴OF=$\sqrt{O{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴C（6，8），
∵点D是线段AC的中点，
∴D点坐标为（$\frac{10+6}{2}$，$\frac{8}{2}$），即（8，4），
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过D点，
∴4=$\frac{k}{8}$，即k=32，
∴双曲线的解析式为：y=$\frac{32}{x}$（x＞0），
∵CF=8，
∴直线CB的解析式为y=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{32}{x}}\\{y=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=8}\end{array}\right.$，
∴E点坐标为（4，8）．

点评 此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．