题目内容

如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．
【小题1】求这条抛物线的解析式；
【小题2】点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
【小题3】探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


【小题1】∵x2-2x-8="0" ，∴(x-4)(x+2)="0" .∴x1=4,x2=-2.
　　       ∴A(4,0) ,B(-2,0)
又∵抛物线经过点A、B、C,设抛物线解析式为y=ax2+bx+c (a≠0)，
∴ 　　∴
　     ∴所求抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4
【小题2】设P点坐标为(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G.
　　        ∵点B坐标为(-2，0)，点A坐标(4,0)，
　　        ∴AB=6， BP=m+2.
　　        ∵PE∥AC，
　　        ∴△BPE∽△BAC.
　　        ∴.
　　        ∴.∴EG＝
　　        ∴S△CPE= S△CBP- S△EBP=BP•CO－BP•EG
　　        ∴(m＋2)（4－）.＝－m 2＋m＋[来源:学|科|网]
　　        ∴ (m－1) 2＋3
　　       又∵-2≤m≤4，
　　        ∴当m=1时，S△CPE有最大值3.
此时P点的坐标为(1，0).
【小题3】存在Q点，其坐标为Q1(1，1)，Q2 (1，)，Q3. (1，－)，
　　        Q4. (1，4＋)，Q5. (1，4－)．                              5分

解析

练习册系列答案
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精英家教网如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D．
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精英家教网如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（2012•历下区一模）如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C（0，3），M是抛物线对称轴上的任意一点，则△AMC的周长最小值是
10
+5
10
+5
．
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如图，抛物线与x轴交于A、B（6，0）两点，且对称轴为直线x=2，与y轴交于点C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MA、MC，当△MAC的周长最小时，求点M的坐标；
（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由．

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