Question

17．如图，已知等边△ABC的边长为6，D、E分别是AB、AC边上的动点，DE∥BC，将线段CE绕C点顺时针旋转120°，得到线段CF，连接DF，则当点D在AB边上从A运动到B的过程中，DF的中点M运动的路径长为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，取BC中点N，连接NM，将线段BD绕B点逆时针旋转120°，得到线段BG，连接DG．点M的运动轨迹为线段MN，当点D与A重合时，易知DG=2•AB•cos30°=6$\sqrt{3}$，推出MN=$\frac{1}{2}$DG=3$\sqrt{3}$．

解答 解：如图，取BC中点N，连接NM，将线段BD绕B点逆时针旋转120°，得到线段BG，连接DG．

∵△ABD是等边三角形，DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，BD=EC，
∵BD=BG，CE=CF，BN=CN，
∴NG=FN，∵DM=MF，
∴MN=$\frac{1}{2}$DG，MN∥DG，∠MNF=∠G=30°，
易知点M的运动轨迹为线段MN，当点D与A重合时，易知DG=2•AB•cos30°=6$\sqrt{3}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$DG=3$\sqrt{3}$，
故答案为3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查等边三角形的性质、旋转变换、三角形的中位线定理、轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．