Question

3．一直角三角形中一条直角边比另一条直角边大d厘米，斜边上高是h厘米，求斜边．

Answer 1

分析 可设较小的直角边为x厘米，则较大的直角边为（x+d）厘米，根据勾股定理表示出斜边的长，再根据三角形面积公式列方程得到x的值，进一步得到斜边的长．

解答 解：设较小的直角边为x厘米，则较大的直角边为（x+d）厘米，
由勾股定理可得斜边L=$\sqrt{{x}^{2}+（x+d）^{2}}$厘米，
利用面积公式，可得$\frac{1}{2}$x（x+d）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+（x+d）^{2}}$h，
所以x（x+d）=$\sqrt{{x}^{2}+（x+d）^{2}}$h=hL，
$\frac{{x}^{2}+（x+d）^{2}}{{x}^{2}（x+d）^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$，
$\frac{1}{（x+d）^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+d}$）²+$\frac{2}{x（x+d）}$=$\frac{{d}^{2}}{[x（x+d）]^{2}}$+$\frac{2}{x（x+d）}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$，
所以有$\frac{{d}^{2}}{（hL）^{2}}$+$\frac{2}{hL}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$，
解得L=h±$\sqrt{{h}^{2}+{d}^{2}}$（负值舍去）．
故斜边的长为h+$\sqrt{{h}^{2}+{d}^{2}}$．

点评 本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时考查了三角形面积的计算，利用三角形的面积公式得出x（x+d）=$\sqrt{{x}^{2}+（x+d）^{2}}$h=hL，然后根据分式混合运算的法则以及完全平方公式变形为$\frac{{d}^{2}}{（hL）^{2}}$+$\frac{2}{hL}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$是解题的关键，本题的计算有一定的难度．