Question

9．阅读下列材料解决问题：
若将一个整数的个位数字截去，再用余下的数减去原数个位数的2倍，如果差能被7整除，则原数能被7整除．如果不易看出能否被7整除，就需要继续上述的过程，直到能清楚判断为止．特别的：零能够被任何非零数整除．
例如：判断133能否被7整除的过程如下：13-3×2=7，∵7能被7整除，∴133能被7整除；
判断6139能否被7整除的过程如下：613-9×2=595，59-5×2=49，∵49能被7整除，所以6139能被7整除
（1）请用上面的方法分别判断397和1708能否被7整除，并说明理由
（2）有一个百位数字为1的三位整数，它能够被7整除；将这个三位数的百位数字和个位数字交换后所产生的新三位整数仍能被7整除，求这个三位整数．

Answer 1

分析 （1）根据能被7整除的数的特征即可求解；
（2）找到百位数字为1的能够被7整除的三位整数有105，112，119，126，133，140，147，154，161，168，175，182，189，196，再把它们的百位数字和个位数字交换后所产生的新三位整数，根据能被7整除的数的特征即可求解．

解答 解：（1）因为39-7×2=25，25不能被7整除，所以397不能被7整除；
因为170-8×2=154，154能被7整除，所以1708能被7整除；

（2）百位数字为1的能够被7整除的三位整数有105，112，119，126，133，140，147，154，161，168，175，182，189，196，
因为50-1×2=48，48不能被7整除，所以501不能被7整除；
因为21-1×2=19，19不能被7整除，所以211不能被7整除；
因为91-1×2=89，89不能被7整除，所以911不能被7整除；
因为62-1×2=60，60不能被7整除，所以621不能被7整除；
因为33-1×2=31，31不能被7整除，所以331不能被7整除；
041不是三位数，不符合题意；
因为74-1×2=72，72不能被7整除，所以741不能被7整除；
因为45-1×2=43，43不能被7整除，所以451不能被7整除；
因为16-1×2=14，14能被7整除，所以161能被7整除；
因为86-1×2=84，84能被7整除，所以861能被7整除；
因为57-1×2=55，55不能被7整除，所以571不能被7整除；
因为28-1×2=26，26不能被7整除，所以281不能被7整除；
因为98-1×2=96，96不能被7整除，所以981不能被7整除；
因为69-1×2=67，67不能被7整除，所以691不能被7整除．
答：这个三位整数是161或168．

点评 本题考查的是因式分解的应用，熟知能被7整除的数的特征：数字去掉个位数，减去原个位数的2倍，计算得到的差能被7整除是解答此题的关键．