Question

11．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，AC、BD交于点G，若AB=CD．
（1）求证：BG=DG；
（2）若将△DEC在直线AC上移动，当点E在点F右侧时，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请画出示意图（不需证明）．
（1）证明：
（2）结论：
示意图：

Answer 1

分析 （1）由条件可求得AF=CE，可利用HL证明Rt△ABF≌Rt△CDE，可得BF=DE，再证明△DEG≌△BFG即可；
（2）同（1）的方法可证明结论仍然成立．

解答 （1）证明：
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}AB=CD\\ AF=CE\end{array}\right.$
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE
在△DEG和△BFG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEG=∠BFG}\\{∠EGD=∠FGB}\\{DE=BF}\end{array}\right.$
∴△DEG≌△BFG（AAS），
∴BG=DG；
（2）结论不变．
证明方法同（1）．
图形如图所示．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（即全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键．