Question

如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒 (0＜t＜5)．

(1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？

(2)设四边形PQCM的面积为ycm²，求y与t之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻t,使S_{四边形PQCM}＝S_△ABC？若存在,求出t的值；若不存在，说明理由；

(4)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）当时，四边形PQCM是平行四边形；    （3分）

（2）过P作PE⊥AC，交AC于E，   ∵ PQ∥AC，  ∴△PBQ∽△ABC，  

∴△PBQ是等腰三角形，  ∴PQ=PB=t，

∴ ∴BF＝，∴FD＝8－，又∵MC=AC-AN=10-2t，

∴    （3分）

（3）∵S_△ABC=,∴当y＝S_△ABC时，，

即，解得（舍去）  （3分）

（4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC，过M作MH⊥AB，交AB于H，则△AHM∽△ADB，

∵

在Rt△HMP中，，

又∵,

由解得：（舍去），

∴当时，点M在线段PC的垂直平分线上.