题目内容

12．如图，将一块三内角分别为30°，60°，90°的三角板放置在直角坐标系中，三角板最长边的两个端点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上滑动（不含坐标原点）．已知：∠ACB=90°，∠CBA=30°，AB=12cm．
（1）AC=6cm；
（2）在点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上滑动的过程中，当△ACB≌△AOB时，求直角顶点C的坐标；
（3）当点B从坐标原点沿x轴向右方向滑动的过程中，直角顶点C也随之运动，直到点A无限接近坐标原点（与坐标原点不重合）时，运动停止，若点C运动的路程长为l，求l的取值范围．

分析 （1）在直角△ABC中，利用三角函数求得AC的长；
（2）利用三角函数求得BC的长，然后根据全等三角形的性质，求得OB的长，作CD⊥x轴于点D，在直角△BCD中，利用三角函数求得CD和BD，则C的坐标即可求得；
（3）斜边AB的中点的路径是以O为圆心，以$\frac{1}{2}$AB为半径的弧，C也在这个弧所在的圆上，与AB的中点路径相等，根据弧长公式即可求解．

解答 解：（1）在直角△ABC中，AC=AB•sin∠CBA=12×$\frac{1}{2}$=6（cm）．
故答案是：6；
（2）在直角△ABC中，BC=AB•cos∠CBA=12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$（cm），
①∵ACB≌△AOB，
∴OB=BC=6$\sqrt{3}$，∠ABO=∠CBA=30°，
∴∠CBD=60°，
作CD⊥x轴于点D．
在直角△BCD中，BD=BC•cos∠CBD=6$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=3$\sqrt{3}$（cm）．
CD=BC•sin∠CBD=6$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=9．
∴OD=OB-BD=6$\sqrt{3}$-3$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．
∴C的坐标是（3$\sqrt{3}$，9）．
②如图所示，∵ACB≌△AOB，
BC=6$\sqrt{3}$，AC=6，
∴C（6，6$\sqrt{3}$）．
（3）因为是RT△ABC，所以可以吧AB中点看成圆心，A，B，C，三点分别在圆上，C点的运动路程即AB中点的运动路程．
AB的中点运动路线是以O为圆心，以$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×12=6（cm）为半径的弧，弧的圆心角接近90°，
则弧长是：$\frac{90π×6}{180}$=3π．
∴l的范围是：0≤l＜3π．

点评 本题是一次函数与三角函数以及全等三角形的性质的综合题，主要考查了图形折叠的性质，正确确定C点运动的路径是关键．

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