Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x＝﹣2，顶点为D．

（1）填空：抛物线的解析式为　 　，顶点D的坐标为　 　，直线AB的解析式为　 　；

（2）在直线AB左侧抛物线上存在点E，使得∠EBA＝∠ABD，求E的坐标；

（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当S△POQ：S△BOQ＝1：2时，求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x；（﹣2，﹣1）；y＝x+4；（2）（﹣，）；（3）P（﹣2，2﹣2）．

【解析】

（1）根据对称轴可求得A点坐标，再根据B点坐标，利用待定系数法即可求得抛物线以及一次函数解析式，再利用对称轴为x＝﹣2可求得抛物线顶点坐标；

（2）证明四边形GDHD′为正方形，点D（-2，-1），则点G（-5，-1），则正方形的边长为3，则点D′（-5，2），求得直线BD′的解析式，与抛物线联立即可求解；

（3）证明四边形PQHO为平行四边形，则xQ-xP=xH-xO，即可求解．

解：（1）对称轴为直线x＝﹣2，则点A（﹣4，0），

将点A、B的坐标代入抛物线表达式得 ，解得．

故抛物线的表达式为：y＝x2+x…①，

当x=-2时，

∴顶点D的坐标为：（﹣2，﹣1），

设直线AB的表达式为，

将点A、B的坐标代入一次函数表达式，解得，

所以，直线AB的表达式为：y＝x+4…②，

故答案为：y＝x2+x；（﹣2，﹣1）；y＝x+4；

（2）作点D关于AB的对称点D′，分别过点D、D′作x轴的平行线交直线AB与点G、H，

则,，

∵直线AB的解析式为y＝x+4，∥x轴，∥x轴,

∴，

∴，

∴，，

则四边形GDHD′为正方形，

根据点D（﹣2，﹣1），可得点G（﹣5，﹣1），

所以，正方形的边长为3，

则点D′（﹣5，2），

设直线BD′的表达式为：，所以，解得，

所以，直线BD′的表达式为：y＝x+…③；

联立①③并解得：x＝﹣或4（舍去），

故点E（﹣，）；

（3）取OB的中点H（2，4），则S△OQH＝S△OBQ，而S△POQ：S△BOQ＝1：2，

故S△OQH＝S△POQ，

∵PQ∥OH，故PQ＝OH（四边形PQHO为平行四边形），

则xQ﹣xP＝xH﹣xO，

设点P（m， m2+m），

直线OB的表达式为：y＝2x，

则直线PQ的表达式为：y＝2x+b1，将点P的坐标代入上式得,解得，

所以，直线PQ的表达式为：y＝2x+m2﹣m…④，

联立②④并解得：xQ＝﹣m2+m+4，

而xQ﹣xP＝xH﹣xO，

即﹣m2+m+4﹣m＝2，

解得：m＝或m＝（舍去），

故点P（﹣2，2﹣2）．