题目内容

设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
（1）试推导x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a
；
（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
∴x1=
-b+
b2-4ac 
2a
，x2=
-b-
b2-4ac
2a
，
∴x1+x2=
-b+
b2-4ac
-b-
b2-4ac
2a
=-
b
a
，
x1•x2=
-b+
b2-4ac 
2a
•
-b-
b2-4ac
2a
=
c
a
；

（2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，
∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，
∴原式=ax13+bx12+cx1+ax23+bx22+cx2，
=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c），
=0．
练习册系列答案
相关题目
若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a
．我们把它们称为根与系数关系定理．
如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：
AB=|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
(-
b
a
)2-
4c
a
=
b2-4ac
a2
=
b2-4ac
|a|

请你参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为等腰直角三角形时，求b2-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，b2-4ac=
 
；
（3）设抛物线y=x2+kx+1与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且∠ACB=90°，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB=60°？
（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a
．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
(-
b
a
)2-
4c
a
=
b2-4ac
a2
=
b2-4ac
|a|
；
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值．
（1）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a
．
根据该材料：已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求
x2
x1
+
x1
x2
的值．
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 2 1 2 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，试判断y1与y2的大小关系．
(1)方程x2＋2＝4x两根之和是_________，两根之积是_________；

(2)如果一元二次方程8x2－（m－1）x＋m－7＝0有一个根是0，则m＝_________;

(3)已知方程x2＋mx＋n＝0两根互为相反数，则m__________0，n__________0;

(4)已知方程x2－4x－k＋2＝0两根之积是–3，则k＝_________;

(5)已知方程9x2－2mx＋8＝0两根之和等于2，则m＝_________;

(6)已知?ot匠?/span>x2＋3x＋m＝0的一个根是另一个根的2倍，则m＝_________;

(7)若方程x2＋5x＋m＝0两根之差的平方为16，则m＝_________；

(8)若两数的和为－5，积为－6，则此两数为__________________；

(9)若关于x的二次三项式x2－ax＋2a－3是完全平方式，则a的值为________________；

(10)若方程3x2＋px＋q＝0的两根的倒数之和是－2，且3p＋2q＝－8，则p、q的值为_____________；

(11)已知一个一元二次方程的两根分别比方程x2－2x－3＝0的两根大1，则此方程为______________；

(12)设x1、x2是方程x2－13x＋m＝0的两个根，且x1＝4x2－2，则m＝__________________．

 

已知关于x的一元二次为程ax2＋x－a＝0(a≠0)．

(1)求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根；

(2)设x1、x2是该方程的两个根，若｜x1｜＋｜x2｜＝4，求a的值．

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