题目内容
若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=-| b |
| a |
| c |
| a |
如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：
AB=|x1-x2|=
| (x1+x2)2-4x1x2 |
(-
|
|
| ||
| |a| |
请你参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为等腰直角三角形时，求b2-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，b2-4ac=
（3）设抛物线y=x2+kx+1与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且∠ACB=90°，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB=60°？
分析：（1）由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b2-4ac＞0；套用材料中的公式可求得线段AB的表达式，利用公式法可得到顶点C的纵坐标，进而求得斜边AB上的高（设为CD），若△ABC为等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根据这个等量关系求出b2-4ac的值．
（2）方法同（1），只不过AB、CD的等量关系为：
AB=2CD．
（3）若要改变∠ACB的大小，就必须向上或向下平移抛物线；首先根据（1）题的结论求出k的值，然后设出平移后的抛物线解析式，进而套用（2）的结论求出平移的距离，由此确定平移方案．
（2）方法同（1），只不过AB、CD的等量关系为：
| 3 |
（3）若要改变∠ACB的大小，就必须向上或向下平移抛物线；首先根据（1）题的结论求出k的值，然后设出平移后的抛物线解析式，进而套用（2）的结论求出平移的距离，由此确定平移方案．
解答：
解：（1）当△ABC为等腰直角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则AB=2CD；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴|b2-4ac|=b2-4ac，
∵AB=
，
又∵CD=
，a≠0，
∴
=
，
即
=
，
∴b2-4ac=
，
∵b2-4ac≠0，
∴b2-4ac=4．
（2）当△ABC为等边三角形时，b2-4ac=12．（解法同（1）．）
（3）∵∠ACB=90°，
∴b2-4ac=4，即k2-4=4，
∴k=±2
；
因为向左或向右平移时∠ACB的度数不变，
所以只需将抛物线y=x2±2
x+1向上或向下平移使∠ACB=60°，然后向左或向右平移任意个单位即可．
设向上或向下平移后的抛物线的解析式为：
y=x2±2
x+1+m，
∵平移后∠ACB=60°，
∴b2-4ac=12，
∴m=-2，
∴抛物线y=x2+kx+1向下平移2个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使∠ACB的度数由90°变为60°．
解：（1）当△ABC为等腰直角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则AB=2CD；∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴|b2-4ac|=b2-4ac，
∵AB=
| ||
| |a| |
又∵CD=
| b2-4ac |
| 4|a| |
∴
| b2-4ac |
| b2-4ac |
| 2 |
即
| b2-4ac |
|
∴b2-4ac=
| (b2-4ac)2 |
| 4 |
∵b2-4ac≠0，
∴b2-4ac=4．
（2）当△ABC为等边三角形时，b2-4ac=12．（解法同（1）．）
（3）∵∠ACB=90°，
∴b2-4ac=4，即k2-4=4，
∴k=±2
| 2 |
因为向左或向右平移时∠ACB的度数不变，
所以只需将抛物线y=x2±2
| 2 |
设向上或向下平移后的抛物线的解析式为：
y=x2±2
| 2 |
∵平移后∠ACB=60°，
∴b2-4ac=12，
∴m=-2，
∴抛物线y=x2+kx+1向下平移2个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使∠ACB的度数由90°变为60°．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，用公式法求抛物线顶点坐标的方法以及直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形的性质，解决此题的关键是读懂题意，弄清题目所给公式的含义．
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