题目内容
（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-| b |
| a |
| c |
| a |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
(-
|
|
| ||
| |a| |
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值．
分析：（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC=BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．根据本题定理和结论，得到AB=
，根据顶点坐标公式，得到CE=|
|=
，列出方程，解方程即可求出b2-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE=
AE=
AB，据此列出方程，解方程即可求出b2-4ac的值．
| ||
| |a| |
| 4ac-b2 |
| 4a |
| b2-4ac |
| 4a |
（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE=
| 3 |
| ||
| 2 |
解答：
解：（1）当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac＞0，则|b2-4ac|=b2-4ac．
∵a＞0，∴AB=
=
，
又∵CE=|
|=
，
∴
=2×
，
∴
=
，
∴b2-4ac=
，
∵b2-4ac＞0，
∴b2-4ac=4；
（2）当△ABC为等边三角形时，
由（1）可知CE=
AB，
∴
=
×
，
∵b2-4ac＞0，
∴b2-4ac=12．
解：（1）当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac＞0，则|b2-4ac|=b2-4ac．
∵a＞0，∴AB=
| ||
| |a| |
| ||
| a |
又∵CE=|
| 4ac-b2 |
| 4a |
| b2-4ac |
| 4a |
∴
| ||
| a |
| b2-4ac |
| 4a |
∴
| b2-4ac |
| b2-4ac |
| 2 |
∴b2-4ac=
| (b2-4ac)2 |
| 4 |
∵b2-4ac＞0，
∴b2-4ac=4；
（2）当△ABC为等边三角形时，
由（1）可知CE=
| ||
| 2 |
∴
| b2-4ac |
| 4a |
| ||
| 2 |
| ||
| a |
∵b2-4ac＞0，
∴b2-4ac=12．
点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．
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