Question

1．如图，在四边形ABCD中，E为AB边上一点，ED⊥AD于D，EC⊥CB于C，且∠AED=∠BEC，AB=2$\sqrt{13}$，AD=3，BD=$\sqrt{37}$，M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，则△DEM与△CEN的周长之和为2$\sqrt{13}$+6．

Answer 1

分析 根据三角形相似，从而得到∠A=∠ABC，进而补全等腰三角形，△DEM与△CEN的周长之和就可转化为AB+BH，而BH是△ADB的边AD上的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，再求出BH，就可解决问题．

解答 解：延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，如图，
∵ED⊥AD，EC⊥CB，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
又∵∠AED=∠BEC，
∴△ADE∽△BCE，
∴∠A=∠CBE，
∴FA=FB．
连接EF，∵S_△ABF=S_△AEF+S_△BEF，
即$\frac{1}{2}$AF•BH=$\frac{1}{2}$AF•DE+$\frac{1}{2}$BF•CE，
∴ED+EC=BH，
设DH=x，则AH=AD+DH=（3+x）．
∵BH⊥AF，
∴∠BHA=90°．
∴BH²=BD²-DH²=AB²-AH²．
∵AB=2$\sqrt{13}$，AD=3，BD=$\sqrt{37}$，
∴（$\sqrt{37}$）²-x²=（2$\sqrt{13}$）²-（3+x）²，
解得：x=1．
∴BH²=BD²-DH²=37-1=36，
∴BH=6，
∴ED+EC=BH=6，
∵∠ADE=∠BCE=90°，
且M、N分别为AE、BE的中点，
∴DM=AM=EM=$\frac{1}{2}$AE，CN=BN=EN=$\frac{1}{2}$BE．
∴△DEM与△CEN的周长之和
=DE+DM+EM+CN+EN+EC
=DE+AE+BE+EC=DE+AB+EC
=DE+EC+AB=2$\sqrt{13}$+6．
即△DEM与△CEN的周长之和为2$\sqrt{13}$+6．
故答案为：2$\sqrt{13}$+6．

点评 本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积的计算，平行线的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．