Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE AB于E， CD平分ECB， 交过点B的射线于D， 交AB于F， 且BC=BD．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若AE=9， CE=12， 求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）10．

【解析】

试题分析：（1）要证明BD是⊙O的切线，由已知条件转化为证明∠DBA=90°即可；

（2）连接AC，利用三角形相似求出BE的值，由勾股定理求出BC的值，由已知条件再证明△EFC∽△BFD，相似三角形的性质利用：对应边的比值相等即可求出BF的长．

试题解析：（1）证明：∵CE⊥AB，

∴∠CEB=90°．

∵CD平分∠ECB，BC=BD，

∴∠1=∠2，∠2=∠D．

∴∠1=∠D，

∴CE∥BD，

∴∠DBA=∠CEB=90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴BD是⊙O的切线；

（2）解：连接AC，

∵AB是⊙O直径，

∴∠ACB=90°．

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=∠BEC=90°，

∵∠A+∠ABC=90°，∠A+∠ACE=90°，

∴∠ACE=∠ABC，

∴△ACE∽△CBE，

∴，即CE2=AEEB，

∵AE=9，CE=12，

∴EB=16，

在Rt△CEB中，∠CEB=90，由勾股定理得 BC=20，

∴BD=BC=20，

∵∠1=∠D，∠EFC=∠BFD，

∴△EFC∽△BFD，

∴，

即

∴BF=10．