Question

2．如图，已知?ABCD的对角线交于O点，M为OD的中点，过M的直线分别交AD、CD于P、Q．交BA、BC的延长线于E、F．求证：PE+QF=2PQ．

Answer 1

分析 先由MP∥OA，DM=MO，得出DP=PA．再由平行四边形的性质得出∠EAP=∠QDP，∠AEP=∠DQP，然后利用AAS证明△APE≌△DPQ，得出PE=PQ．同理，QF=PQ，即可得出PE+QF=2PQ．

解答 证明：∵MP∥OA，DM=MO，
∴DP=PA．
在?ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠EAP=∠QDP，∠AEP=∠DQP．
在△APE与△DPQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠QDP}&{\;}\\{∠AEP=∠DQP}&{\;}\\{PA=PD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△DPQ（AAS），
∴PE=PQ．
同理，QF=PQ，
∴PE+QF=2PQ．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．