Question

【题目】综合题【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE= BC．（不需要证明）

（1）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．

（2）【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是： ． （只添加一个条件）
（3）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：【探究】平行四边形．

理由：如图1，连接AC，

∵E是AB的中点，F是BC的中点，

∴EF∥AC，EF= AC，

同理HG∥AC，HG= AC，

综上可得：EF∥HG，EF=HG，

故四边形EFGH是平行四边形．

（2）AC=BD
（3）
【解析】

【应用】（2）添加AC=BD，

理由：连接AC，BD，同（1）知，EF= AC，

同【探究】的方法得，FG= BD，

∵AC=BD，

∴EF=FG，

∵四边形EFGH是平行四边形，

∴EFGH是菱形；

所以答案是AC=BD；（3）如图2，由【探究】得，四边形EFGH是平行四边形，

∵F，G是BC，CD的中点，

∴FG∥BD，FG= BD，

∴△CFG∽△CBD，

∴ ，

∴S△BCD=4S△CFG，

同理：S△ABD=4S△AEH，

∵四边形ABCD面积为5，

∴S△BCD+S△ABD=5，

∴S△CFG+S△AEH= ，

同理：S△DHG+S△BEF= ，

∴S四边形EFGH=S四边形ABCD﹣（S△CFG+S△AEH+S△DHG+S△BEF）=5﹣ = ，

设AC与FG，EH相交于M，N，EF与BD相交于P，

∵FG∥BD，FG= BD，

∴CM=OM= OC，

同理：AN=ON= OA，

∵OA=OC，

∴OM=ON，

易知，四边形ENOP，FMOP是平行四边形，

∴S阴影= S四边形EFGH= ，

所以答案是 ．

【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的性质的相关知识，掌握对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．