Question

如图1，反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点A（2

3

，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,一次函数的性质,二次函数的最值

专题：代数几何综合题

分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2

3

；
（2）作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为（1，2

3

），则AH=2

3

-1，BH=2

3

-1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC-∠BAH=30°，根据特殊角的三角函数值得tan∠DAC=

3

3

；由于AD⊥y轴，则OD=1，AD=2

3

，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD=2，易得C点坐标为（0，-1），于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=

3

3

x-1；
（3）利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为（t，

2 3

t

）（0＜t＜2

3

），由于直线l⊥x轴，与AC相交于点N，得到N点的横坐标为t，利用一次函数图象上点的坐标特征得到N点坐标为（t，

3

3

t-1），则MN=

2 3

t

-

3

3

t+1，根据三角形面积公式得到S_△CMN=

1

2

•t•（

2 3

t

-

3

3

t+1），再进行配方得到S=-

3

6

（t-

3

2

）²+

9 3

8

（0＜t＜2

3

），最后根据二次函数的最值问题求解．

解答：解：（1）把A（2

3

，1）代入y=

k

x

得k=2

3

×1=2

3

；

（2）作BH⊥AD于H，如图1，
把B（1，a）代入反比例函数解析式y=

2 3

x

得a=2

3

，
∴B点坐标为（1，2

3

），
∴AH=2

3

-1，BH=2

3

-1，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴∠BAH=45°，
∵∠BAC=75°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAH=30°，
∴tan∠DAC=tan30°=

3

3

；
∵AD⊥y轴，
∴OD=1，AD=2

3

，
∵tan∠DAC=

CD

DA

=

3

3

，
∴CD=2，
∴OC=1，
∴C点坐标为（0，-1），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（2

3

，1）、C（0，-1）代入
得

2 3 k+b=1 b=-1

，
解

k= 3 3 b=-1

，
∴直线AC的解析式为y=

3

3

x-1；

（3）设M点坐标为（t，

2 3

t

）（0＜t＜2

3

），
∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，
∴N点的横坐标为t，
∴N点坐标为（t，

3

3

t-1），
∴MN=

2 3

t

-（

3

3

t-1）=

2 3

t

-

3

3

t+1，
∴S_△CMN=

1

2

•t•（

2 3

t

-

3

3

t+1）
=-

3

6

t²+

1

2

t+

3

=-

3

6

（t-

3

2

）²+

9 3

8

（0＜t＜2

3

），
∵a=-

3

6

＜0，
∴当t=

3

2

时，S有最大值，最大值为

9 3

8

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形的性质；会利用二次函数的性质解决最值问题．