Question

11．已知在△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥AC于D，以O为圆心，OD为半径作⊙O．
（1）如图①，求证：CB是⊙O的切线；
（2）如图②，若⊙O是△ABC的内切圆，AC=5，AB=6，求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）作OE⊥BC于E，由等腰三角形的三线合一性质得出∠ACH=∠BCH，由角平分线的性质得出OE=OD，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的三线合一性质得出AH=BH=$\frac{1}{2}$AB，由勾股定理求出CH，再证明△COD∽△CAH，得出对应边成比例，求出OD，即可求出⊙O的面积．

解答 （1）证明：作OE⊥BC于E，如图1所示：
∵CA=CB，点O在高CH上，
∴∠ACH=∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，
∴OE=OD，
∴CB是⊙O的切线；
（2）解：如图2所示：
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OH=OD，
∵CA=CB，CH是高，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴CH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵∠OCD=∠ACH，∠CDO=∠CHA=90°，
∴△COD∽△CAH，
∴$\frac{OD}{AH}=\frac{OC}{AC}$，
即$\frac{OD}{3}=\frac{4-OD}{5}$，
解得OD=$\frac{3}{2}$，
∴⊙O的面积=π×（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{4}π$．

点评 本题考查了切线的判定方法、勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆的面积的计算；熟练掌握切线的判定方法，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．