题目内容
【题目】如图所示，二次函数
的图象与
轴交于
、
两点，与
轴交于点
，其中点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段
、
的长（
）是方程
的两个根，且点坐标为
．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若点
是线段
上的一个动点（与点、不重合），过点作
∥
交
于点
，连接
. 设
的长为
，△
的面积为
，求S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明是否存在最大值，若存在，请求出的最大值，并求出此时点的坐标，判断此时△
的形状；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
(0<m<8);（3）当
时
有最大值
，此时点
的坐标为
，△
为等腰三角形.
【解析】
（1）通过解方程x210x＋16＝0得到二次函数图象上的点B、C的坐标，再结合A的坐标，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）用m表述出AE、BE的长，得到△BEF∽△BAC，再利用相似三角形的性质得到比例式
，求出EF的表达式，利用sin∠FEG＝sin∠CAB＝
得到
，求出FG的表达式，再根据S＝S△BCES△BFE求S与m之间的函数关系，m的值不超过AB的长．
（3）将S＝
m2＋4配方为S＝（m4）2＋8，求出S的最大值，进而判断出此时△BCE的形状．
（1）方程
的两个根为2和8.
由于
，所以
，
，故
，点
坐标为
.
因为点
坐标为
，所以
．
解得
，
.
故此二次函数的表达式为.
（2）∵AB＝8，OC＝8，依题意，AE＝m，则BE＝8m，
∵OA＝6，OC＝8，
∴AC＝10．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴
．
即．
∴EF＝
．
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝．
∴．
∴FG＝＝8m．
∴S＝S△BCES△BFE
＝
（8m）×8（8m）（8m）
＝（8m）（88＋m）
＝（8m）m
＝
，自变量m的取值范围是0＜m＜8．
（3）存在．
理由如下：
∵S＝=（m4）2＋8，且＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8．
∵m＝4，
∴点E的坐标为（2，0）．
∴△BCE为等腰三角形．
