Question

13．如果关于x的方程x²+kx+$\frac{1}{2}$k²+$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{4}$=0有两个实数根x₁、x₂，那么$\frac{{x}_{1}^{2016}}{{x}_{2}^{2015}}$的值为-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意可得△=b²-4ac≥0，求得k=-1，于是原方程为x²-x+$\frac{1}{4}$=0，列方程得到x₁=x₂=-$\frac{1}{2}$，于是得到结论．

解答 解：根据题意可得
∵方程有实数根，
∴△=b²-4ac≥0，
即k²-4（$\frac{1}{2}$k²+$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{4}$）≥0，
∴-（k+1）²≥0，
∵（k+1）²≤0，
∴k+1=0，
即k=-1，
∴原方程为：x²-x+$\frac{1}{4}$=0，
∴x₁=x₂=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{x}_{1}^{2016}}{{x}_{2}^{2015}}$=x₁=-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解方程，解题的关键是根据根的判别式先求出k．