Question

4．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，第二象限的点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，且OA⊥OB，tanA=$\sqrt{2}$，则k的值为（　　）

• A． -3
• B． -4
• C． -6
• D． -2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，利用反比例函数系数的机会意义得到S_△AOD=1，再根据正切的意义得到tanA=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{2}$，则OB=$\sqrt{2}$OA，接着证明Rt△AOD∽Rt△OBC，利用相似三角形的性质得S_△OBC=2S_△AOD=2，所以$\frac{1}{2}$•|k|=2，然后根据反比例函数的性质确定k的值．

解答 解：作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，则S_△AOD=$\frac{1}{2}$×2=1，
在Rt△AOB中，tanA=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{2}$，
∴OB=2OA，
∵∠AOD+∠BOC=90°，∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
∴Rt△AOD∽Rt△OBC，
∴$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△OBC}}$=（$\frac{OA}{OB}$）²=2，
∴S_△OBC=2S_△AOD=2，
∴$\frac{1}{2}$•|k|=2，
而k＜0，
∴k=-4．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了相似三角形的判定与性质．