Question

2．已知抛物线y=mx²+2mx+n交x轴于A、B两点，交y轴于C（0，3），顶点为D，且AB=4．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，点S在x轴上，当△DPS为等腰直角三角形时，求点P的坐标；
（3）将抛物线沿对称轴向下平移，使顶点落在x轴上，设点D关于x轴的对称点为M，过M的直线交抛物线于E、F（点E在对称轴左侧），连DE，DF，且S_△DEF=20．求E、F的坐标．

Answer 1

分析 （1）可根据抛物线的对称性求出点A、B的坐标，然后用待定系数法就可解决问题；
（2）由于等腰直角△DPS的直角顶点不确定，可分三种情况讨论，然后只需通过构造K型相似，用一个字母表示点P的坐标，代入抛物线的解析式就可解决问题；
（3）过点E作EG⊥DM于G，过点F作FH⊥DM于H，如图2．设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由S_△DEF=20可得到x₂-x₁=5，易得EF的解析式y=kx+k-4，代入y=-x²-2x-1，只需运用根与系数的关系就可解决问题．

解答 解：（1）抛物线y=mx²+2mx+n的对称轴为x=-$\frac{2m}{2m}$=-1．
由AB=4，根据抛物线的对称性可得：
A（-1-$\frac{4}{2}$，0）即（-3，0），B（-1+$\frac{4}{2}$，0）即（1，0）．
将点B、C的坐标代入y=mx²+2mx+n，得
$\left\{\begin{array}{l}{m+2m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）由y=-x²-2x+3可得顶点D的坐标为（-1，4），设P（p，q）．
①当∠DPS=90°，PD=PS时，
过点P作PN⊥x轴于N，过点D作DM⊥PN于M，如图1①．

则有∠DMP=∠PNS=90°，∠MDP=∠NPS=90°-∠MPD．
在△DMP和△PNS中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMP=∠PNS}\\{∠MDP=∠NPS}\\{PD=PS}\end{array}\right.$，
∴△DMP≌△PNS，
∴DM=PN=q，
∴点P的坐标为（-1+q，q），
∴q=-（-1+q）²-2（-1+q）+3，
整理得q²+q-4=0，
解得q₁=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，q₂=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，
∵点P为对称轴右侧抛物线上一点，
∴-1+q＞-1即q＞0，
∴点P的坐标为（$\frac{\sqrt{17}-3}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）；
②当∠SDP=90°，DS=DP时，
过点P、S作x轴的垂线，与过点D垂直于y轴的直线分别交于点M、N，如图1②．

同理可得：点P的坐标为（3，-12）；
③当∠DSP=90°，SD=SP时，
过点D、P作y轴的垂线，与过点S垂直于x轴的直线分别交于点M、N，如图1③．

同理可得：点P的坐标为（$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-9+\sqrt{33}}{2}$）．
综上所述：当△DPS为等腰直角三角形时，
点P的坐标为（$\frac{\sqrt{17}-3}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$），（3，-12），（$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-9+\sqrt{33}}{2}$）；

（3）过点E作EG⊥DM于G，过点F作FH⊥DM于H，如图2．

设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则
EG=-1-x₁，FH=x₂-（-1）=x₂+1．
∵点D与点M关于x轴对称，
∴M（-1，-4），DM=4-（-4）=8．
∵S_△DEF=20，
∴$\frac{1}{2}$×8×（-1-x₁）+$\frac{1}{2}$×8×（x₂+1）=4（x₂-x₁）=20，
∴x₂-x₁=5．
设过点M的直线的解析式为y=kx+b，
∴-4=-k+b，
∴b=k-4，
∴过点M的直线的解析式为y=kx+k-4．
由题可知：平移后的抛物线的解析式为y=-（x+1）²．
将y=kx+k-4代入y=-x²-2x-1中，得
x²+（k+2）x+k-3=0，
∴x₁+x₂=-（k+2），x₁•x₂=k-3，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（k+2）²-4（k-3）=25，
解得k=±3．
①当k=-3时，直线EF的解析式为y=-3x-7，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x-7}\\{y=-（x+1）^{2}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-16}\end{array}\right.$，
∴E（-2，-1），F（3，-16）；
②当k=3时，直线EF的解析式为y=3x-1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-1}\\{y=-（x+1）^{2}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-16}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴E（-5，-16），F（0，-1）．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线的轴对称性、根与系数的关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、解方程组等知识，运用分类讨论并构造K型相似是解决第（2）小题的关键，运用根与系数的关系是解决第（3）小题的关键．