Question

3．如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，AC=$\sqrt{6}$，∠B=60°，∠C=75°．
（1）求∠BOD的度数；
（2）求BC的长．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再由圆周角定理即可得出结论；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，先根据锐角三角函数的定义求出CE的长，同理可得出BC的长．

解答 解：（1）∵∠B=60°，∠C=75°，
∴在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠C=45°，
∴∠BOD=2∠A=90°；
                             
（2）过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACE中，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
在Rt△BCE中，
∵∠ABC=60°，
∴BC=$\frac{2}{\sqrt{3}}$BE=2．

点评 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．