Question

如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠B=30°，⊙O的半径为6，求线段AD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
又∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．

（2）在Rt△BDO中，∠ODB=90°，∠B=30°，OD=6，
∴BO=2OD=12，
∴AB=12+6=18，
∴AC=AB=9，
由勾股定理得：BD==6，BC==9，
∴DC=9-6=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD===6．
分析：（1）连接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ODA，得出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线判定推出即可；
（2）根据含30度角的直角三角形性质求出BO，AC，根据勾股定理求出BD、BC，求出CD，根据勾股定理求出AD即可．
点评：本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理的应用，用了方程思想．