Question

如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D，∠B=30°．求证：
（1）AD平分∠BAC；
（2）若BD=3

3

，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）进行证明一下，先连接OD，OD⊥BC和AC⊥BC，再由其平行从而得证；
（2）在Rt△ODB中求得OD，得到OB，从而得到所求．

解答：证明：（1）连接OD（1分）
∵BC是⊙O的切线
∴OD⊥BC（2分）
又∵AC⊥BC（3分）
∴OD∥AC，（3分）
∴∠2=∠3；（4分）
∵OA=OD，
∴∠1=∠3；（5分）
∴∠1=∠2；（6分）
∴AD平分∠BAC；（6分）

（2）解：在Rt△ODB中，∠ODB=90°，∠B=30°，BD=3

3

．
∵tanB=

OD

BD

，（7分）
∴OD=BD•tanB=3

3

×

3

3

=3（8分）
∴BO=2OD=6（9分）
∵OE=OD=3，
∴BE=BO-OE=6-3=3．（10分）

点评：本题考查了切线的性质，（1）进行证明，先连接OD，OD⊥BC和AC⊥BC，从而平行即得证；（2）在Rt△ODB中求得OD，即得到OB，从而求得结论．