题目内容
如图，已知点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A，过点C作CE⊥AB于E，CE=8，cosD=| 4 |
| 5 |
分析：连结OC，在Rt△DCE中利用cosD=
=
，可设DE=4x，则DC=5x，于是CE=3x=8，解得x=
得到DE=
，DC=
，根据圆周角定理AB为直径得到∠ACB=90°，利用∠A=∠BCD可得到∠OCD=90°，在Rt△OCD中，根据cosD=
=
=
，解得OD=
，则OE=OD-DE=6，接着根据勾股定理计算出OC，然后再次利用勾股定理计算AC．
| DE |
| DC |
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 3 |
| 32 |
| 3 |
| 40 |
| 3 |
| CD |
| OD |
| 4 |
| 5 |
| ||
| OD |
| 50 |
| 3 |
解答：解：连结OC，如图，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠CED=90°，
∴cosD=
=
，
设DE=4x，则DC=5x，
∴CE=3x=8，解得x=
，
∴DE=
，DC=
，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠BCD，
而∠A=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD，
∴∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，cosD=
=
=
，解得OD=
，
∴OE=OD-DE=
-
=6，
在Rt△OCE中，OC=
=10，
∴OA=10，
∴AE=10+6=16，
在Rt△ACE中，AC=
=
=8
．
故选A．
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠CED=90°，
∴cosD=
| DE |
| DC |
| 4 |
| 5 |
设DE=4x，则DC=5x，
∴CE=3x=8，解得x=
| 8 |
| 3 |
∴DE=
| 32 |
| 3 |
| 40 |
| 3 |
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠BCD，
而∠A=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD，
∴∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，cosD=
| CD |
| OD |
| 4 |
| 5 |
| ||
| OD |
| 50 |
| 3 |
∴OE=OD-DE=
| 50 |
| 3 |
| 32 |
| 3 |
在Rt△OCE中，OC=
| OE2+CE2 |
∴OA=10，
∴AE=10+6=16，
在Rt△ACE中，AC=
| AE2+CE2 |
| 162+82 |
| 5 |
故选A．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
练习册系列答案
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如图，已知点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A，过点C作CE⊥AB于E，CE=8，cosD=
，则AC的长为
