Question

27、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，猜想线段DE、AD与BE有怎样的数量关系？请写出这个关系（不用证明）
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由题中条件求解△ACD≌△CBE，得出对应边相等，再利用线段之间的转化，进而可得出结论；
（2）解题方法与（1）类似；
（3）中还是先求解△ACD≌△CBE，利用线段之间的转化得出结论．

解答：解：（1）DE=CD+CE=AD+BE．
（2）证明∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥DN，∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，又AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，BE=CD，
DE=CE-CD=AD-BE．
（3）DE=CD-CE=BE-AD．
证明∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥DN，∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，又AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，BE=CD，
DE=CD-CE=BE-AD．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用．