Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．
（1）若AD=10，sin∠ADC=

4

5

，求AC的长和tanB的值；
（2）如图，若∠B=a，AD=BD=1，则可以利用该图求出sin2a与a的三角函数之间的等量关系（用sina和cosa的值表示）．

Answer 1

考点：解直角三角形,线段垂直平分线的性质

专题：计算题

分析：（1）在Rt△ACD中利用∠ADC的正弦即可得到AC=8，再利用勾股定理计算出CD=6，接着根据折叠的性质得DB=DA=10，所以BC=CD+DB=16，然后在Rt△ABC中利用正切的定义求解；
（2）先得到∠ADC=2∠B=2α，由sin∠ADC=

AC

AD

得到AC=sin2α，在Rt△BDE中由cosB=

BE

DB

得到BE=cosα，所以AB=2BE=2cosα，然后在Rt△ABC中利用∠B的正弦即可得到sin2α=2cosα•sinα．

解答：解：（1）在Rt△ACD中，∵sin∠ADC=

AC

AD

=

4

5

，
而AD=10，
∴AC=8；
∴CD=

AD2-AC2

=6，
∵AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E，
∴DB=DA=10，
∴BC=CD+DB=16，
在Rt△ABC中，tanB=

AC

BC

=

8

16

=

1

2

；
（2）∵DA=DB，
∴∠DAB=∠B=α，
∴∠ADC=2∠B=2α，
∵sin∠ADC=

AC

AD

，
∴AC=sin2α，
在Rt△BDE中，∵cosB=

BE

DB

，
∴BE=cosα，
∴AB=2BE=2cosα，
在Rt△ABC中，∵sinB=

AC

AB

，
∴AC=ABsinB，
∴sin2α=2cosα•sinα．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了线段的垂直平分线．