Question

9．已知抛物线L：y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B（3，0），该抛物线的对称轴为直线x=1．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PA-PC|最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
（3）将抛物线L平移得到抛物线L'，如果抛物线L'经过点C时，那么在抛物线L'上是否存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，应将抛物线L怎样平移；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）依据抛物线的对称性先确定出点A的坐标，然后依据二次函数的交点式可得到函数的解析式；
（2）当点P在直线AC上时，|PA-PC|有最大值，然后求得直线AC的解析式，然后将点P的横坐标代入直线AC的解析式求得点P的纵坐标即可．
（3）先依据平行四边形的性质定义确定出点D的位置，然后依据线段的中点坐标公式可求得点D的坐标，设平移后抛物线的解析式为y=-x²+bx+3，设抛物线L′的解析式为y=-x²+bx+3，将点D的坐标代入可求得b的值，从而得到L′的解析式，然后确定出抛物线L和L′的顶点坐标可确定出平移的方向和距离．

解答 解：（1）∵点A与点B关于x=1对称，
∴点A的坐标为（-1，0）．
∴抛物线的解析式为：y=-（x-3）（x+1），即y=-x²+2x+3．
（2）如图所示：当点P在直线AC上时，|PA-PC|有最大值．

∵令y=-x²+2x+3中，x=0得y=3．
∴C（0，3）．
设直线AC的解析式为y=kx+b．将A，C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=3，b=3．
∴直线AC的解析式为y=3x+3．
∵点P的横坐标为x=1，
∴点P的纵坐标y=3×1+3=6．
∴P（1，6）．
（3）如图2所示：

∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线L的顶点坐标为（1，4）．
∵平移后不改变抛物线的开口方向可大小，
∴平移后抛物线L′的二次项系数为-1．
∵抛物线L′经过点C，
∴抛物线L′的常数项为3．
设抛物线L′的解析式为y=-x²+bx+3．
设先D的坐标为（x，y）．
①当点D₁BCA为平行四边形时，由线段的中点坐标公式可知：$\frac{x+0}{2}=\frac{-1+3}{2}$，$\frac{y+3}{2}=\frac{0+0}{2}$，
解得：x=2，y=-3．
∴点D₁的坐标为（2，-3）．
将点（2，-3）代入L′的解析式得：-4+2b+3=-3，解得b=-1．
∴L′的解析式为y=-x²-x+3=-（x+$\frac{1}{2}$）²+3$\frac{1}{4}$．
∴可将L先向左平移1.5个单位，在向下平移0.75个单位．
②当点D₂BCA为平行四边形时，由线段的中点坐标公式可知$\frac{x-1}{2}=\frac{0+3}{2}$，$\frac{0+y}{2}=\frac{0+3}{2}$，
解得：x=4，y=3．
∴点D₂的坐标为（4，3）．
将点（4，3）代入L′的解析式得：-16+4b+3=3，解得b=4．
∴L′的解析式为y=-x²+4x+3=-（x-2）²+7．
∴可将L先向右平移1个单位，在向上平移4个单位．
③当点D₃BCA为平行四边形时，由线段的中点坐标公式可知$\frac{x+3}{2}=\frac{-1+0}{2}$，$\frac{y+0}{2}=\frac{0+3}{2}$，解得：x=-4，y=3．
∴点D₃的坐标为（-4，3）．
将点（-4，3）代入L′的解析式得：-16-4b+3=3，解得b=-4．
∴L′的解析式为y=-x²-4x+3=-（x+2）²+7．
∴可将L先向左平移3个单位，在向上平移4个单位．
综上所述，将L先向左平移1.5个单位，在向下平移0.75个单位或将L先向右平移1个单位，在向上平移4个单位或将L先向左平移3个单位，在向上平移4个单位时，在抛物线L'上存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、平行四边形的性质、以及三角形的三边关系，明确当点A、C、P在一条直线上时，|PA-PC|有最大值是解答问题（2）的关系，根据题意画出图形，然后确定出点D的坐标是解答问题（3）的关键．