Question

7．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=CB，tan∠C=$\frac{4}{3}$（如图），点E在CD边上运动，联结BE．如果EC=EB，那么$\frac{DE}{CD}$的值是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据AB=AC以及tan$∠C=\frac{4}{3}$，可以假设AB=BC=4a，求出DE，CD即可．

解答 解：如图作DM⊥BC，EN⊥BC垂足分别为M．N，设AB=BC=4a，
∵tan∠C=$\frac{DM}{CM}$=$\frac{4}{3}$，
∴CM=3a，CD=5a，
∵EB=EC，EN⊥BC，
∴NC=BN=2a，
∵tan∠C=$\frac{EN}{CN}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{EN}{2a}=\frac{4}{3}$，
∴EN=$\frac{8a}{3}$，
∴EC=$\sqrt{E{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\frac{10a}{3}$，
∴DE=CD-EC=5a-$\frac{10a}{3}$=$\frac{5a}{3}$，
∴$\frac{DE}{CD}$=$\frac{\frac{5a}{3}}{5a}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查直角梯形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，设未知数，列出相应的代数式是解决问题的关键．