Question

15．在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒$\sqrt{3}$厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；
（2）探求BP²，PQ²，CQ²三者之间的数量关系，以图1为例说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过垂直的定义、直角三角形中的两个锐角互余以及等量代换，可以证得△PBM与△QNM中的两个角对应相等，所以这两个三角形一定相似；
（2）PQ²=BP²+CQ²．作辅助线延长QM至点D，使MD=MQ．连接PD、BD构建平行四边形BDCQ．根据平行四边形的对边平行且相等推知BD∥CQ，BD=CQ；然后在直角三角形BPD中利用勾股定理求得PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²；最后利用线段垂直平分线的性质知PQ=PD，所以由等量代换证得该结论．

解答 解：（1）△PBM∽△QNM．理由如下：
如图1，∵MQ⊥MP，MN⊥BC（已知），
∴∠PMB+∠PMN=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN（等量代换）．
∵∠PBM+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），∠QNM+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠PBM=∠QNM（等量代换）．
∴△PBM∽△QNM；

（2）PQ²=BP²+CQ²．
证明如下：如图1，延长QM至点D，使MD=MQ．连接PD、BD，BQ，CD
∵BC、DQ互相平分，
∴四边形BDCQ为平行四边形，
∴BD∥CQ，BD=CQ（平行四边形的对边平行且相等）；
又∵∠BAC=90°，
∴∠PBD=90°，
∴PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ=PD，
∴PQ²=BP²+CQ²．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握垂直的定义、直角三角形中的两个锐角互余，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识点，综合性较强，难度较大．