Question

【题目】如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.

（1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N，证明:DM＝DN；

（2）在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；

（3）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详情见解析；（2）四边形DMBN面积不发生变化，面积为；（3）仍然成立，证明见解析.

【解析】

（1）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根据ASA证明△MBD≌△NCD，进而求证即可；

（2）根据全等得出△MBD与△NCD面积相等，求出四边形DMBN的面积等于△BDC的面积，进而求解即可；

（3）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根据ASA证明△MBD≌△NCD，进而求证即可.

（1）如图1，连接BD.

∵在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴BD=DC=AD，∠BDC=90°，

∴∠ABD=∠C=45°，

∵∠MDB+∠BDN=90°，∠CDN+∠BDN=90°

∴∠MDB=∠NDC，

在△MBD与△NCD中，

∵∠MDB=∠NDC，BD=DC，∠MBD=∠C，

∴△MBD≌△NCD，

∴DM=DN.

（2）四边形DMBN面积不发生变化.

由（1）得△MBD≌△NCD，

∴S△MBD=S△NCD，

∴四边形DMBN面积=S△DMB+S△BDN= S△CND+ S△BDN=S△ABC=.

（3）DM=DN仍然成立.

如图2，连接BD，

∵在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，

∴DB=DC,∠BDC=90°，

∴∠DCB=∠DBC=45°，

∴∠DBM=∠DCN=135°，

∵∠NDC+∠CDM=90°，∠BDM+∠CDM=90°，

∴∠CDN=∠BDM，

在△CDN与△BDM中，

∵∠CDN=∠BDM，DC=DB，∠DCN=∠DBM，

∴△CDN≌△BDM，

∴DM=DN.