Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEB；
（2）求证：BE是⊙O的切线；
（3）求DE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°即可得出结论；
（2）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论．
（3）根据△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．

解答：（1）BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，
∴△ABC∽△DEB；
（2）证明：连结OB，OD，

在△ABO和△DBO中，

AB=DB BO=BO OA=OD

，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切线．

（3）∵△BED∽△CBA，
∴

BD

AC

=

DE

AB

，
即

12

13

=

DE

12

，
解得：DE=

144

13

．

点评：本题考查了切线的判定及圆周角定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握一些定理的内容．