Question

9．阅读材料：
材料一：对于任意的非零实数x和正实数k，如果满足$\frac{kx}{3}$为整数，则称k是x的一个“整商系数”．
例如：x=2时，k=3⇒$\frac{3×2}{3}$=2，则3是2的一个整商系数；
x=-1时，k=3⇒$\frac{3×（-1）}{3}$=-1，则3也是-1的一个整商系数；
结论：一个非零实数x有无数个整商系数k，其中最小的一个整商系数记为k（x）．
材料二：对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）两根x₁，x₂满足：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$；x₁•x₂=$\frac{c}{a}$
（1）k（$\frac{1}{3}$）=9，k（-$\frac{5}{3}$）=$\frac{9}{5}$；
（2）若实数a（a＜0）满足k（$\frac{2}{a}$）＞k（$\frac{1}{a+1}$），求a的取值范围；
（3）若关于x的方程：x²+bx+4=0的两个根分别为x₁、x₂，且满足k（x₁）+k（x₂）=6，则b的值．

Answer 1

分析 （1）结合最小“整商系数”的定义即可得出结论；
（2）根据a＜0，分别找出k（$\frac{2}{a}$）和k（$\frac{1}{a+1}$）的值，分-1≤a＜0和a＜-1两种情况考虑：再根据已知可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（3）由根与系数的关系可得出x₁+x₂=-b，x₁•x₂=4，结合最小“整商系数”的定义以及k（x₁）+k（x₂）=6，即可得出关于b的一元一次方程，解方程即可求出b值．

解答 解：（1）∵当x=$\frac{1}{3}$时，$\frac{\frac{1}{3}k}{3}$为整数，且k为正实数，
∴k=9n（n为正整数），
∴k（$\frac{1}{3}$）=9；
同理：k（-$\frac{5}{3}$）=$\frac{9}{5}$．
故答案为：9；$\frac{9}{5}$．
（2）∵a＜0，
∴k（$\frac{2}{a}$）=-$\frac{3a}{2}$，k（$\frac{1}{a+1}$）=|3（a+1）|，
∴k（$\frac{2}{a}$）＞k（$\frac{1}{a+1}$）分三种情况：
①当-1≤a＜0时，有-$\frac{3a}{2}$＞3（a+1），
解得：a＜-$\frac{2}{3}$，
∴此时-1≤a＜-$\frac{2}{3}$；
②当a＜-1时，有-$\frac{3a}{2}$＞-3（a+1），
解得：a＞-2，
∴此时-2＜a＜-1．
综上可知：a的取值范围为-2＜a＜-$\frac{2}{3}$．
（3）∵方程x²+bx+4=0的两个根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-b，x₁•x₂=4，
∵k（x₁）+k（x₂）=6，
∴$\frac{3}{{x}_{1}}$+$\frac{3}{{x}_{2}}$=±6，即$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$b=±6，
解得：b=±8．

点评 本题考查了根与系数的关系以及“整商系数”的概念，解题的关键是：（1）理解并会寻找最小“整商系数”；（2）分两种情况找出关于a的不等式；（3）根据根与系数的关系找出关于b的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，读懂并能利用“整商系数”进行解题的关键．