Question

19．如图1，正方形ABCD中，点E、F分别为边AD、CD上的点，且DE=CF，AF、BE相交于点G．

（1）问：线段AF和BE有怎样的位置关系和数量关系？（直接写出结论，不必证明）
答：线段AF和BE的位置关系是互相垂直，数量关系是相等．
（2）若点E、F分别运动到边AD的延长线和边DC的延长线上，其他条件均保持不变（如图2），此时连接BF和EF，M、N、P、Q分别为AE、EF、BF、AB的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种？并写出证明过程．

Answer 1

分析 （1）结论：AF⊥BE，AF=BE．只要证明△ABE≌△DAF即可解决问题．
（2）结论：四边形MNPQ是正方形，先证明△ABE≌△DAF，推出AF=BE，AF⊥BE，再证明四边形MNPQ是正方形即可．

解答 解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAC=∠ADC=90°，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△ABE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF，
∴AF=BE，∠AEB=∠AFD，
∵∠AFD+∠FAD=90°，
∴∠AEB+∠FAD=90°，
∴∠EGA=90°，
∴BE⊥AF．
故答案为线段AF和BE的位置关系是互相垂直，数量关系是相等．
（2）结论：四边形MNPQ是正方形．
理由：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=DC，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△ABE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF，
∴AF=BE，∠AEB=∠AFD，
∵∠AFD+∠FAD=90°，
∴∠AEB+∠FAD=90°，
∴∠EGA=90°，
∴BE⊥AF．
∵M、N、P、Q分别为AE、EF、BF、AB的中点，
∴MN∥AF∥QP，MQ∥EB∥NP，
MN=PQ=$\frac{1}{2}$AF，MQ=NP=$\frac{1}{2}$BE，
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形MNPQ是菱形，
∵AF⊥EB，EB∥NP，
∴NP⊥AF，
∵MN∥AF，
∴MN⊥NP，
∴∠MNP=90°，
∴四边形MNPQ是正方形．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形并且进行证明，属于中考常考题型．