Question

6．在△ABC中，点D在BC边上，且满足CA²=CD•CB（如图1）
（1）求证：$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{BC}$；
（2）如图2，以点A为圆心，AB为半径画弧交AC的延长线于点E，联结BE，延长AD交BE于点F，求证：$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AD}{BD}$

Answer 1

分析 （1）由CA²=CD•CB知CA：CD=CB：CA，根据∠C=∠C证△CAB∽△CDA即可得；
（2）过点B作BG∥AE，交AF的延长线于点G，由△ACD∽△BCA知∠CAD=∠CBA，结合BG∥AE，即∠G=∠CAD，得∠G=∠CBA，证△ABD∽△AGB得$\frac{AB}{GB}=\frac{AD}{BD}$，由BG∥AE知$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AE}{GB}$=$\frac{AB}{GB}$，从而得证$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AD}{BD}$．

解答 证明：（1）∵CA²=CD•CB，
∴CA：CD=CB：CA
∵∠C=∠C，
∴△CAB∽△CDA，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{BC}$；

（2）如图，过点B作BG∥AE，交AF的延长线于点G，

∵△ACD∽△BCA，
∴∠CAD=∠CBA，
∵BG∥AE，
∴∠G=∠CAD，
∴∠G=∠CBA，
又∠BAD=∠GAB，
∴△ABD∽△AGB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BD}{GB}$，即$\frac{AB}{GB}=\frac{AD}{BD}$，
∵BG∥AE，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AE}{GB}$，
又∵AE=AB，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AB}{GB}$，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AD}{BD}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质，通过构建△ABD∽△AGB将$\frac{EF}{BF}$与$\frac{AD}{BD}$通过$\frac{AE}{BG}$联系到一起是解题的关键．