Question

已知如图，△ACD与△BCE为等腰三角形，其中CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=α，BD、AE交于点F，求∠BFE和∠AFC的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：求出∠ACE=∠DCB，根据SAS推出△ACE≌△DCB，推出CE=BD，∠CDB=∠CAF，∠AEC=∠DBC，推出F、C、B、E四点共圆，求出∠BFE=∠BCE，求出A、C、D、F四点共圆，推出∠AFC=∠ADC，求出∠ADC=∠CAD=90°-

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α即可．

解答：解：
∵∠ACD=∠BCE=α，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴CE=BD，∠CDB=∠CAF，∠AEC=∠DBC，
∴F、C、B、E四点共圆，
∴∠BFE=∠BCE，
∵∠BCE=α，
∴∠BFE=α，
∵∠CDB=∠CAF，∠CDB+∠CDF=180°，
∴∠CAE+∠CDF=180°，
∴A、C、D、F四点共圆，
∴∠AFC=∠ADC，
∴∠ACD=α，AC=CD，
∴∠ADC=∠CAD=

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（180°-α）=90°-

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α，
∴∠AFC=90°-

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α．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是求出F、C、B、E四点共圆和A、C、D、F四点共圆．