Question

已知是⊙的直径，是⊙的切线，是切点，与⊙交于点.

（1）如图①，若，，求的长（结果保留根号）；
（2）如图②，若为的中点，求证：直线是⊙的切线.

Answer 1

（1）（2）证明见解析

解：（1）∵ 是⊙的直径，是切线，∴ .（1分）
在Rt△中，，，∴ .（2分）
由勾股定理，得 （3分）
(2)如图，连接、，∵ 是⊙的直径， 

∴，有.（4分）
在Rt△中，为的中点，
∴ .∴ .（5分）
又 ∵， 
∴.（6分）∵ ，
∴ .即 .（7分）∴ 直线是⊙的切线.   
（1）易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；
（2）本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD=AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD=∠OAD=90°，从而解决问题．